Ext 함자

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1. 개요

Ext 함자는 대수적 구조에서 사용되는 중요한 개념으로, 특히 아벨 범주에서 대상 간의 관계를 연구하는 데 활용된다. Ext 함수는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있으며, 완전열의 동치류 집합, 유도 함자, 유도 범주 등을 이용하여 정의할 수 있다. 이 함수는 군 코호몰로지, 호흐실트 코호몰로지, 리 대수 코호몰로지, 층 코호몰로지 등 다양한 분야에서 특수한 형태로 나타나며, 가군 확대와 밀접한 관련을 맺고 있다. Ext 함자는 '확대(extension)'의 약자로, 아벨 군 G를 다른 아벨 군 H로 확대하는 경우의 가능한 확대들과 Ext¹_Z(G,H) 사이의 일대일 대응과 같이, 확대와 관련된 정보를 제공한다.

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Ext 함자
일반 정보
유형	수학의 함자
분야	호몰로지 대수학
정의
Ext (Ext 함자)	주어진 아벨 군 A, B에 대해 Ext(A, B)는 A와 B 사이의 확장들의 동치류들의 모임이다.
어원	"Ext"는 "extension"(확장)에서 유래되었다.
성질
함자성	Ext는 두 변수에 대해 함자이다. 첫 번째 변수에 대해서는 반변함자, 두 번째 변수에 대해서는 공변함자이다.
계산	Ext(A, B)는 A의 사영 분해 또는 B의 단사 분해를 사용하여 계산할 수 있다.
응용
군 코호몰로지	Ext는 군 코호몰로지를 정의하는 데 사용된다.
환 코호몰로지	Ext는 환 코호몰로지를 정의하는 데 사용된다.
대수적 K 이론	Ext는 대수적 K 이론에서 중요한 역할을 한다.
관련 개념
Tor 함자	Ext 함자와 유사하게 정의되는 함자로, 사영 분해 대신 평탄 분해를 사용한다.
유도 함자	Ext 함자는 유도 함자의 한 예이다.

2. 정의

Ext 함자는 아벨 범주에서 정의되는 함자로, 완전열, 유도 함자, 유도 범주를 통해 세 가지로 정의할 수 있다.

완전열을 통한 정의: 요네다 노부오가 도입한 정의로, 특정 완전열들의 동치류 집합으로 Ext 함자를 정의한다.^[17] 이 정의는 가장 구체적이지만 복잡하며, Ext 함자의 값이 고유 모임이 될 수 있는 집합론적 문제가 발생할 수 있다.
유도 함자를 통한 정의: 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서 Ext 함자는 오른쪽 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 정의는 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다. 환 위의 가군 범주는 단사 대상과 사영 대상을 충분히 가지므로 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.
유도 범주를 통한 정의: 유도 범주의 개념을 사용하여 Ext 함자를 간단하게 정의할 수 있다. 그러나 유도 범주의 존재 자체가 여러 집합론적 문제를 야기할 수 있다.

대수학에서 중요한 경우인 환 위의 가군 범주에서는 단사 대상과 사영 대상을 충분히 가지므로, 유도 함자를 이용한 정의를 사용할 수 있다.

2. 1. 완전열을 통한 정의

Ext 함자는 사영 분해를 통해 정의할 수 있다. ''R''을 환이라 하고, Mod_''R''을 ''R'' 위 가군들의 범주라고 하자. ''B''를 Mod_''R''의 대상으로 하고, Mod_''R''의 고정된 대상 ''A''에 대해 ''G''(''A'')=Hom_''R''(''A'',''B'')라고 하자. 그러면 Ext 함자는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nG)(A)

여기서 ''RⁿG''는 ''G''의 오른쪽 유도 함자이다.

Ext 함자는 적절한 사영 분해

:

\dots \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow A \rightarrow 0,

를 선택하고, 다음을 계산하여 얻을 수 있다.

:

0\rightarrow\operatorname{Hom}_R(P^0,B)\rightarrow  \operatorname{Hom}_R(P^1,B) \rightarrow \dots

(''R''^''n''''G'')(''A'')는 이 복합체의 호몰로지이다. Hom_''R''(''A'',''B'')는 복합체에서 제외된다.

이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.^[17]

2. 1. 1. 0차 Ext

임의의 아벨 범주

\mathcal A

에 대하여, '''0차 Ext 함자'''는 다음과 같은 사상군 함자이다.

:

\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}(-,-)=\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}

2. 1. 2. 1차 Ext

임의의 아벨 범주

\mathcal A

의 대상

A,B\in\mathcal A

에 대하여,

A

의

B

에 대한 '''확대'''(extension of

A

by

B

^영어)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

:

0\to B\to X\to A\to0

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상

X\to X'

이 존재한다면, 두 확대가 서로 '''동치'''라고 한다.

:

\begin{matrix}0\to&B&\to&X&\to&A&\to0\\&\|&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\|\\0\to&B&\to&X'&\to&A&\to0\end{matrix}

(이 사상

X\to X'

은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 '''베어 합'''(Baer sum^영어)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.^[19]

두 확대

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

,

0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0

가 주어졌을 때,

Y

를

X

와

X'

의

A

에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

:

X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi(x)=\pi'(x)\}\supseteq\iota(B)\oplus\iota'(B)

즉,

Y

는

B

를 두 번 부분 대상으로 포함한다.

대각 사상

\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B

를 사용하여,

Y

의 몫대상

:

X''=\frac Y{\left((\iota,-\iota')\circ\operatorname{diag}_B\right)(B)}

을 정의할 수 있다. 이는

Y

속에 존재하는 두 개의

B

를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

:

0\to B\to X''\to A\to0

는 짧은 완전열을 이룬다.

0\to B\to X''\to A\to0

의 동치류를

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

와

0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0

의 동치류의 '''베어 합'''(Baer sum^영어)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열

0\to B\to A\oplus B\to A\to0

이며, 확대

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

의 베어 합에 대한 역원은

0\to B\xrightarrow{-\iota}X\xrightarrow\pi A\to0

또는

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow{-\pi} A\to0

이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

\mathcal A

속의 대상

A,B\in\mathcal A

에 대하여, '''1차 Ext 함자'''

\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,B)

는

A

의

B

에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

:

\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}

를 정의한다. 또한, 각

A\in\mathcal A

에 대하여

:

\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}

:

\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}

는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.^[16] 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

2. 1. 3. 고차 Ext

2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.^[17]^[18]^[19]^[20]

아벨 범주

\mathcal A

가 주어졌다고 하자.

\mathcal A

속의 대상

A

,

B

에 대하여,

A

의

B

에 대한

n

차 '''확대'''(

n

-fold extension of

A

by

B

^영어)는 다음과 같은 완전열이다.

:

0\to B\to X_n\to X_{n-1}\to\cdots\to X_1\to A\to0

두

n

차 확대

(B,X_\bullet,A)

,

(B',X_\bullet',A')

사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면,

(B,X_\bullet,A)

가

(B',X_\bullet',A')

의 '''닮은 확대'''(similar extension^영어)라고 한다.

:

\begin{matrix}0\to &B&\to&X_n&\to&\cdots&\to&X_1&\to&A&\to0\\&\|&&\downarrow&&\cdots&&\downarrow&&\|\\0\to &B'&\to&X_n'&\to&\cdots&\to&X_1'&\to&A'&\to0\end{matrix}

닮음 관계를

(B,X_\bullet,A)\prec(B',X_\bullet',A')

로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두

n

차 확대

(B,X_\bullet,A)

,

(B',X_\bullet',A')

사이에 다음과 같은

n

차 확대들의 열이 존재하며,

:

(B,X_\bullet,A)=(B^{(0)},X_\bullet^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_\bullet^{(1)},A^{(1)}),\dots,(B^{(k)},X_\bullet^{(k)},A^{(k)})=(B',X_\bullet',A')

이 열이 다음 조건을 만족시킨다면,

(B,X_\bullet,A)

와

(B',X_\bullet',A')

가 서로 '''동치'''라고 한다.

모든 $i=1,2,\dots,k$ 에 대하여, $(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})$ 이거나 또는 $(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})\prec(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})$ 이다.

사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[21]

$(B,X_\bullet,A)$ 와 $(B',X_\bullet',A')$ 가 서로 동치이다.
$(B,X_\bullet,A)\prec(B'',X_\bullet'',A'')\succ(B',X_\bullet',A')$ 인 $n$ 차 확대 $(B'',X_\bullet'',A'')$ 가 존재한다.
$(B,X_\bullet,A)\succ(B'',X_\bullet'',A'')\prec(B',X_\bullet',A')$ 인 $n$ 차 확대 $(B'',X_\bullet'',A'')$ 가 존재한다.

그렇다면,

n

차 '''Ext 함자'''

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)

는

A

의

B

에 대한

n

차 확대들의 동치류 집합이다.

두

n

차 확대

(B,X_\bullet,A)

,

(B',X_\bullet',A')

가 주어졌을 때,

Y_i

를 다음과 같이 정의하자.

$i=1$ 일 때, $Y_1$ 은 $X_1$ 과 $X_1'$ 의 $A$ 에 대한 당김이다.
$1 일 때, Y_i=X_1\oplus X_1' 이다.$
$i=n$ 일 때, $X_n\xrightarrow f\tilde Y\xleftarrow{f'}X_n'$ 를 $B\xrightarrow\iota X_n$ 과 $B\xrightarrow{\iota'}X_n$ 의 $B$ 에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 $\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B$ 를 사용하여, $(f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B\colon B\to\tilde Y$ 를 정의할 수 있다. 그렇다면, $Y_n=\tilde Y/((f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B)(B)$ 이다.

그렇다면

(B,Y_\bullet',A)

는

n

차 확대를 이룬다.

(B,X_\bullet,A)

의 동치류와

(B',X_\bullet',A')

의 동치류의 합을

(B,Y_\bullet',A)

의 동치류로 정의한다.

:

[(B,X_\bullet,A)]+[(B',X_\bullet',A')]=[(B,Y_\bullet',A)]

이 합에 대하여

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)

는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

:

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}

를 이루며, 각

A\in\mathcal C

에 대하여

:

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}

:

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}

둘 다 가법 함자를 이룬다.

2. 1. 4. 요네다 합성

Ext는 가법 함자이므로, 아벨 범주

\mathcal A

의 대상

A,B,C\in\mathcal A

에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서

\otimes

는 아벨 군의 텐서곱이다.)

:

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)\otimes\hom_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C)

:

\hom_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C)

이는

\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}

와

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}

를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수

m,n\in\mathbb N

에 대하여 다음과 같은, '''요네다 합성'''(Yoneda composition^영어)이라는 군 준동형들이 존재한다.^[20]

:

\operatorname{Ext}^m_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^{m+n}_{\mathcal A}(A,C)

이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

:

0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow\pi B\to 0\qquad(m\ge1)

:

0\to B\xrightarrow\iota Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0\qquad(m\ge1)

이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

:

0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow{\iota\circ\pi}Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0

그렇다면

(A,X_\bullet,B)

의 동치류와

(B,Y_\bullet,C)

의 동치류의 '''요네다 합성'''은

(A,X_\bullet,Y_\bullet,C)

의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주

\operatorname{GrAb}_{\mathbb N}

위의 풍성한 범주

\operatorname{Ext}\mathcal A

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\operatorname{Ext}\mathcal A$ 의 대상은 $\mathcal A$ 의 대상과 같다.
$\operatorname{Ext}\mathcal A$ 의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
: $\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,B)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)$
$\operatorname{Ext}(\mathcal A$ 에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
$\operatorname{Ext}\mathcal A$ 에서 항등 사상은 $\mathcal A$ 에서의 항등 사상과 같다.

\operatorname{Ext}\mathcal A

에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면,

\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}

만 남으므로 원래 범주

\mathcal A

를 얻는다.

특히, 대상

A\in\mathcal A

에 대하여,

\operatorname{Ext}\mathcal A

에서의 자기 사상 등급 아벨 군

:

\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,A)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,A)

은 자연수 등급환을 이룬다.

2. 2. 유도 함자를 통한 정의

아벨 범주

\mathcal A

속의 대상

A\in\mathcal A

에 대하여,

:

\hom_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}

는 왼쪽 완전 함자이며,

:

\hom_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}

는 오른쪽 완전 함자이다.

따라서, 만약

\mathcal A

가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면

\hom_{\mathcal A}(A,-)

의 오른쪽 유도 함자를 '''Ext 함자'''라고 한다.

:

\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(A,-)=\operatorname R^n\hom_{\mathcal C}(A,-)

만약

\mathcal A

가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면

\hom_{\mathcal A}(-,A)

의 왼쪽 유도 함자를 '''Ext 함자'''라고 한다.

:

\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(-,A)=\operatorname L^n\hom_{\mathcal C}(-,A)

이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 환

R

위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주

R\text{-Mod}

는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를

\operatorname{Ext}_R^n(-,-)

로 표기한다.

환

R

이 주어지고,

R\text{-Mod}

를

R

에 대한 모듈의 범주라고 하자. (이것은 왼쪽

R

-모듈 또는 오른쪽

R

-모듈을 의미할 수 있다.) 고정된

R

-모듈

A

에 대해,

R\text{-Mod}

의

B

에 대해

T(B)=\text{Hom}_R(A,B)

라고 하자. (여기서

\text{Hom}_R(A,B)

는

A

에서

B

로의

R

-선형 사상의 가환군이고,

R

이 가환이면 이것은

R

-모듈이다.) 이것은

R\text{-Mod}

에서 아벨 군의 범주

\mathbf{Ab}

로의 왼쪽 완전 함자이고, 따라서 오른쪽 유도 함자

R^iT

를 갖는다. Ext 군은 다음과 같이 정의된 아벨 군이다.

:

\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iT)(B),

정수 ''i''에 대해. 정의에 따르면, 이것은 다음과 같다: 임의의 주입 분해를 취한다.

:

0 \to B \to I^0 \to I^1 \to \cdots,

항 ''B''를 제거하고, 코체인 복합체를 구성한다.

:

0 \to \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \to \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \to \cdots.

각 정수 ''i''에 대해, Ext_R^''i''(''A'', ''B'')는 위치 ''i''에서 이 복합체의 코호몰로지이다. 이것은 ''i''가 음수일 때는 0이다. 예를 들어, Ext_R⁰(''A'', ''B'')는 사상 Hom_''R''(''A'', ''I''⁰) → Hom_''R''(''A'', ''I''¹)의 커널이고, 이것은 Hom_''R''(''A'', ''B'')와 동형이다.

다른 정의는 고정된 ''R''-모듈 ''B''에 대해 함자 ''G''(''A'')=Hom_''R''(''A'', ''B'')를 사용한다. 이것은 반변 함자이며, 반대 범주 (''R''-Mod)^op에서 Ab로의 왼쪽 완전 함자로 볼 수 있다. Ext 군은 오른쪽 유도 함자 ''RⁱG''로 정의된다.

:

\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iG)(A).

즉, 임의의 사영 분해를 선택한다.

:

\cdots \to P_1 \to P_0 \to A \to 0,

항 ''A''를 제거하고, 코체인 복합체를 구성한다.

:

0\to \operatorname{Hom}_R(P_0,B)\to \operatorname{Hom}_R(P_1,B) \to \cdots.

그러면 Ext_R^''i''(''A'', ''B'')는 위치 ''i''에서 이 복합체의 코호몰로지이다.

카르탕과 아일렌베르크는 이러한 구성이 사영 또는 주입 분해의 선택과 무관하며, 두 구성 모두 동일한 Ext 군을 생성한다는 것을 보였다.^[2] 또한, 고정된 환 ''R''에 대해, Ext는 각 변수에서 함자(''A''에서 반변, ''B''에서 공변)이다.

가환환 ''R'' 및 ''R''-모듈 ''A''와 ''B''에 대해, Ext_R^''i''(''A'', ''B'')는 ''R''-모듈이다(이 경우 Hom_''R''(''A'', ''B'')가 ''R''-모듈이라는 것을 사용). 비가환환 ''R''에 대해, Ext_R^''i''(''A'', ''B'')는 일반적으로 아벨 군일 뿐이다. ''R''이 환 위의 대수 ''S'' (특히 ''S''가 가환이라는 의미)이면 Ext_R^''i''(''A'', ''B'')는 적어도 ''S''-모듈이다.

2. 3. 유도 범주를 통한 정의

아벨 범주

\mathcal A

가 주어졌을 때,

\mathcal A

의 대상을 하나의 성분만 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 생각할 수 있다. 그러면

\mathcal A

는 사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}(\mathcal A)

의 충만한 부분 범주를 이룬다.^[17]

\mathcal A

속의 사슬 복합체

A

에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

$A[i]^\bullet=X^{\bullet+i}$
$d_{A[i]}=(-1)^nd|_A$

(여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는

\deg d=+1

이다.)

또한,

\mathcal A

의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 가정한다. 그렇다면,

\mathcal A

의 두 대상

A,B\in\mathcal A

에 대한

n

차 '''Ext 함자'''는 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

의 다음과 같은 사상군으로 정의된다.^[17]

:

\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)=\hom_{\operatorname D(\mathcal A)}(A,B[i])

하지만 이 정의에는 집합론적 문제가 따를 수 있다. 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있기 때문이다.^[17]

3. 성질

$M$ 이 사영 가군이거나 $N$ 이 단사 가군이면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=0\qquad\forall n>0

모든 $R$ -가군 $A$ 와 $B$ 에 대해 $\operatorname{Ext}^0_R(A, B) \cong \operatorname{Hom}_R(A, B)$ 이다.
$R$ -가군 $A$ 가 사영적 (예: 자유)이거나 $B$ 가 단사적이면, 모든 $i>0$ 에 대해 $\operatorname{Ext}^i_R(A, B) = 0$ 이다.
역도 성립한다.
모든 $B$ 에 대해 $\operatorname{Ext}^1_R(A, B) = 0$ 이면, $A$ 는 사영적이다 (따라서 모든 $i>0$ 에 대해 $\operatorname{Ext}^i_R(A, B) = 0$ 이다).
모든 $A$ 에 대해 $\operatorname{Ext}^1_R(A, B) = 0$ 이면, $B$ 는 단사적이다 (따라서 모든 $i>0$ 에 대해 $\operatorname{Ext}^i_R(A, B) = 0$ 이다).
Ext는 첫 번째 변수에서 직합 (무한일 수도 있음)을 취하고 두 번째 변수에서 곱을 곱으로 보낸다. 즉:

:

\begin{align}\operatorname{Ext}^i_R \left(\bigoplus_\alpha M_\alpha,N \right) &\cong\prod_\alpha \operatorname{Ext}^i_R (M_\alpha,N) \\\operatorname{Ext}^i_R \left(M,\prod_\alpha N_\alpha \right ) &\cong\prod_\alpha \operatorname{Ext}^i_R (M,N_\alpha)\end{align}

4. 예

정수환 $\mathbb Z$ 위에서 가군의 범주에서 Ext 함자를 살펴보면, 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이고, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다.

아벨 군 $G$ , $H$ 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

: $\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)$

: $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)/\operatorname{res}(\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H))$

이는 군의 확대

: $0\to H\to E\to G\to0$

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

: $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(G,H)=0\qquad\forall n\ge2$

임의의 나눗셈군 $H$ 에 대하여

: $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)=0$

이다. 특히, 유리수의 군 $\mathbb Q$ 나 그 몫군 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 은 나눗셈군이므로

: $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q)=\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q/\mathbb Z)=0$

이다.

$\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)=\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)$
$G\backslash H$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/(n)$	$\mathbb Q$
$\mathbb Z$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/(n)$	$\mathbb Q$
$\mathbb Z/(m)$	0	$\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})$	0
$\mathbb Q$	0	0	$\mathbb Q$

$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)$
$G\backslash H$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/(n)$
$\mathbb Z$	0	0
$\mathbb Z/(m)$	$\mathbb Z/(m)$	$\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})$
$\mathbb Q$	$\mathbb Q^{\oplus 2^{\aleph_0}}$	0

군 코호몰로지는 $H^*(G,M)=\operatorname{Ext}_{\Z[G]}^*(\Z, M)$ 로 정의된다. 여기서 ''G''는 군이고, ''M''은 정수 위에서의 ''G''의 군 표현이며, $\Z[G]$ 는 ''G''의 군환이다.

체 ''k'' 위의 대수 ''A''와 ''A''-쌍가군 ''M''에 대해, 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

::

HH^*(A,M)=\operatorname{Ext}^*_{A\otimes_k A^{\text{op}}} (A, M).

잉여류체 ''k''를 갖는 가환 노에터 국소환 ''R''에 대해, $\operatorname{Ext}^*_R(k,k)$ 는 ''k'' 위의 등급 리 대수 π*(''R'')의 보편 포락 대수이며, 이는 ''R''의 '''호모토피 리 대수'''로 알려져 있다. André–Quillen 코호몰로지 ''D''*(''k''/''R'',''k'')에서 π*(''R'')로 가는 등급 리 대수의 자연스러운 준동형이 있으며, 이는 ''k''가 표수 0을 가질 경우 동형이다.^[13]

\mathbb{Z}[G]

를 군 G의 군환이라고 하면,

\text{Ext}_{\mathbb{Z}[G]}^*(\mathbb{Z}, M)

은 M을 계수로 갖는 군 코호몰로지

H^*(G, M)

이다.

p개의 원소를 갖는 유한체 '''F'''_p에 대해,

H^*(G, M) = \text{Ext}_{\mathbb{F}_p[G]}^*(\mathbb{F}_p, M)

이며, 군 코호몰로지는 선택된 기본 환에 의존하지 않는다.

A가 k-대수라고 하면,

\text{Ext}^*_{A \otimes_k A^{op}}(A, M)

은 A-쌍가군을 계수로 갖는 Hochschild cohomology|호흐실트 코호몰로지^영어

HH^*(A, M)

이다.

4. 1. 벡터 공간

체

K

위의 가군의 범주에서 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간

V

의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

:

0\to V\to I^0=V\to0

:

0\to P^0=V\to V\to0

따라서,

K

위의 벡터 공간

V

,

W

가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

:

\operatorname{Ext}^0_K(V,W)=\hom(V,W)

:

\operatorname{Ext}^n_K(V,W)=0\qquad\forall n>0

4. 2. 리 대수 코호몰로지

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

리 대수 코호몰로지는

H^*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Ext}^*_{U\mathfrak g}(k,M)

로 정의되며, 여기서

\mathfrak g

는 가환환 ''k'' 위의 리 대수이고, ''M''은

\mathfrak g

-가군이며,

U\mathfrak g

는 보편 포락 대수이다.^[13]

R이 가환환 k 위의 리 대수

\mathfrak g

의 보편 포락 대수이면,

\text{Ext}_R^*(k, M)

은 가군 M을 계수로 갖는 Lie algebra cohomology|리 대수 코호몰로지^영어

\operatorname{H}^*(\mathfrak g,M)

이다.

4. 3. 층 코호몰로지

위상 공간

X

위의 아벨 군층

\mathcal F

의 층 코호몰로지는 Ext 함자의 특수한 경우이다.

:

\operatorname H^\bullet(X,\mathcal F) = \operatorname{Ext}^\bullet(\underline{\mathbb Z},\mathcal F)

여기서

Ext 함자는 $X$ 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한다.
$\underline{\mathbb Z}$ 는 정수환 값의 상수층이다.

스킴

X

위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X,\mathcal O_X) = \operatorname H^1(X,\mathcal O_X)

5. Ext와 확대

환 $R$ 이 주어졌을 때, $R$ 에 대한 왼쪽 또는 오른쪽 가군들의 범주를 $R\text{-Mod}$ 라고 한다. 고정된 $R$ -가군 $A$ 에 대해, $T(B) = \text{Hom}_R(A,B)$ 라고 하자. 여기서 $\text{Hom}_R(A,B)$ 는 $A$ 에서 $B$ 로의 $R$ -선형 사상들의 가환군이며, $R$ 이 가환환이면 $R$ -가군이다. $T$ 는 $R\text{-Mod}$ 에서 아벨 군의 범주 $\mathbf{Ab}$ 로의 왼쪽 완전 함자이므로, 오른쪽 유도 함자 $R^iT$ 를 갖는다. Ext 군은 다음과 같이 정의되는 아벨 군이다.

: $\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iT)(B),$

여기서 $i$ 는 정수이다. Ext 군은 임의의 주입 분해를 통해 계산될 수 있다.^[2] 즉,

: $0 \to B \to I^0 \to I^1 \to \cdots,$

와 같은 주입 분해를 취하고, 항 $B$ 를 제거하여 코체인 복합체를 구성한다.

: $0 \to \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \to \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \to \cdots.$

각 정수 $i$ 에 대해, Ext(''A'', ''B'')는 이 복합체의 $i$ 번째 코호몰로지이다.

혹은, 고정된 $R$ -가군 $B$ 에 대해, $G(A)=\operatorname{Hom}_R(A,B)$ 라는 반변 함자를 이용할 수도 있다. 이 경우 Ext 군은 오른쪽 유도 함자 $R^iG$ 로 정의된다.

: $\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iG)(A).$

Ext 군은 임의의 사영 분해를 통해 계산될 수 있다.^[2] 즉,

: $\cdots \to P_1 \to P_0 \to A \to 0,$

와 같은 사영 분해를 취하고, 항 $A$ 를 제거하여 코체인 복합체를 구성한다.

: $0\to \operatorname{Hom}_R(P_0,B)\to \operatorname{Hom}_R(P_1,B) \to \cdots.$

그러면 Ext(''A'', ''B'')는 이 복합체의 $i$ 번째 코호몰로지이다.

카르탕과 아일렌베르크는 이 두 가지 정의가 사영 또는 주입 분해의 선택과 무관하게 동일한 Ext 군을 생성한다는 것을 보였다.^[2]

$\operatorname{Ext}^1_R(A,B)$ 는 $A$ 의 $B$ 에 대한 확대들과 일대일 대응을 가지며, 이 확대들은 베어 합 연산을 통해 아벨 군을 이룬다.^[9]

5. 1. 확대의 동치성

아벨 범주

\mathcal A

의 대상

A,B\in\mathcal A

에 대하여,

A

의

B

에 대한 '''확대'''(extension of

A

by

B

^영어)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

:

0\to B\to X\to A\to0

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상

X\to X'

이 존재한다면, 두 확대가 서로 '''동치'''라고 한다.

:

\begin{matrix}0\to&B&\to&X&\to&A&\to0\\&\|&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\|\\0\to&B&\to&X'&\to&A&\to0\end{matrix}

(이 사상

X\to X'

은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 '''베어 합'''(Baer sum^영어)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.^[19] 두 확대

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

,

0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0

가 주어졌을 때,

X

와

X'

의

A

에 대한 당김은 다음과 같다.

:

X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi(x)=\pi'(x)\}\supseteq\iota(B)\oplus\iota'(B)

즉,

Y

는

B

를 두 번 부분 대상으로 포함한다.

대각 사상

\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B

를 사용하여,

Y

의 몫대상

:

X''=\frac Y{\left((\iota,-\iota')\circ\operatorname{diag}_B\right)(B)}

을 정의할 수 있다. 이는

Y

속에 존재하는 두 개의

B

를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

:

0\to B\to X''\to A\to0

는 짧은 완전열을 이룬다.

0\to X\to X''\to A\to0

의 동치류를

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

,

0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0

의 동치류의 '''베어 합'''이라고 한다.

확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열

0\to B\to A\oplus B\to A\to0

이며, 확대

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

의 베어 합에 대한 역원은

0\to B\xrightarrow{-\iota}X\xrightarrow\pi A\to0

또는

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow{-\pi} A\to0

이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

\mathcal A

속의 대상

A,B\in\mathcal A

에 대하여, '''1차 Ext 함자'''

\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,B)

는

A

의

B

에 대한 확대들의 동치류 집합이며, 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다.

R-모듈 A와 B에 대해, '''B에 의한 A의 확장'''은 R-모듈의 짧은 완전열

:

0\to B\to E\to A\to 0

이다.

두 확장

:

0\to B\to E\to A\to 0

:

0\to B\to E' \to A\to 0

은 다음의 가환도표가 존재할 경우 '''동치'''(B에 의한 A의 확장으로서)라고 한다.

Image:EquivalenceOfExtensions.png

다섯 개 보조정리에 의해 중간 화살표는 동형사상이다. B에 의한 A의 확장은 '''자명한 확장'''

:

0\to B\to A\oplus B\to A\to 0

과 동치이면 '''분리'''라고 한다. A에 의한 B의 확장들의 동치류와

\operatorname{Ext}^1_R(A,B)

의 원소 사이에는 일대일 대응이 있다.^[9] 자명한 확장은

\operatorname{Ext}^1_R(A,B)

의 영원소에 해당한다.

5. 2. 확대의 베어 합

아벨 범주에서 대상 A의 B에 대한 '''확대'''(extension)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

:

0\to B\to X\to A\to0

다음 그림을 가환하게 만드는 사상

X\to X'

이 존재하면, 두 확대가 서로 '''동치'''라고 한다.

:

\begin{matrix}0\to&B&\to&X&\to&A&\to0\\&\|&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\|\\0\to&B&\to&X'&\to&A&\to0\end{matrix}

이 사상

X\to X'

은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다. 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 '''베어 합'''(Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.^[19]

두 확대

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

,

0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0

가 주어졌을 때, 베어 합은 다음과 같이 정의된다.

1.

X

와

X'

의

A

에 대한 당김

Y

를 만든다. 미첼 매장 정리를 사용하면,

Y

는 다음과 같다.

:

X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi(x)=\pi'(x)\}\supseteq\iota(B)\oplus\iota'(B)

즉,

Y

는

B

를 두 번 부분 대상으로 포함한다.

2. 대각 사상

\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B

를 사용하여,

Y

의 몫대상

X''

를 정의한다.

:

X''=\frac Y{\left((\iota,-\iota')\circ\operatorname{diag}_B\right)(B)}

이는

Y

속에 존재하는 두 개의

B

를 하나로 합치는 것이다.

3. 그러면

0\to B\to X''\to A\to0

는 짧은 완전열을 이룬다. 이 동치류를 원래 두 확대의 동치류의 베어 합이라고 한다.

베어 합의 항등원은 분할 완전열

0\to B\to A\oplus B\to A\to0

이며, 확대

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0

의 베어 합에 대한 역원은

0\to B\xrightarrow{-\iota}X\xrightarrow\pi A\to0

또는

0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow{-\pi} A\to0

이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

1차 Ext 함자

\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,B)

는

A

의

B

에 대한 확대들의 동치류 집합이며, 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다.

6. 아벨 범주에서의 Ext 구성

요네다 노부오는 임의의 아벨 범주 '''C'''에 있는 대상 ''A''와 ''B''에 대해 아벨 군 Ext(''A'', ''B'')를 정의했다. 이는 '''C'''가 충분한 사영 대상 또는 충분한 주입 대상을 갖는 경우 분해를 이용한 정의와 일치한다.

먼저, Ext(''A'',''B'') = Hom_'''C'''(''A'', ''B'')이다.

다음으로, Ext(''A'', ''B'')는 ''B''에 의한 ''A''의 확장의 동치류 집합이며, 바이어 합에 따라 아벨 군을 형성한다.

마지막으로, 고차 Ext 군 Ext(''A'', ''B'')는 다음과 같은 ''n-확장''의 동치류로 정의된다.

: $0\to B\to X_n\to\cdots\to X_1\to A\to 0,$

이는 다음 두 확장을 식별하는 관계에 의해 생성된 동치 관계를 따른다.

: $\begin{align}\xi : 0 &\to B\to X_n\to\cdots\to X_1\to A\to 0 \\\xi': 0 &\to B\to X'_n\to\cdots\to X'_1\to A\to 0\end{align}$

만약 모든 ''m'' ∈ {1, 2, ..., ''n''}에 대해 $X_m \to X'_m$ 의 사상이 존재하여 모든 결과 가환도표가 가환하고, ''A''와 ''B''에서 항등 사상인 사슬 사상 $\iota\colon \xi \to \xi'$ 가 존재한다면, 위의 두 확장 $\xi$ 와 $\xi'$ 는 동치이다.

$\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0 & \longrightarrow & B & \longrightarrow & X_n & \longrightarrow &\dots & \longrightarrow & X_1 & \longrightarrow & A &\longrightarrow & 0\\&& \Bigg\Vert && \Bigg\downarrow \iota_n \! &&&&\Bigg\downarrow \iota_1 && \Bigg\Vert &&\\0 & \longrightarrow & B & \longrightarrow & X'_n & \longrightarrow &\dots & \longrightarrow & X'_1 & \longrightarrow & A &\longrightarrow & 0\end{array}$

위와 같은 두 개의 ''n''-확장의 바이어 합은 $X''_1$ 을 ''A''를 통한 $X_1$ 과 $X'_1$ 의 당김으로, $X''_n$ 을 ''B'' 아래의 $X_n$ 과 $X'_n$ 의 밀기로 설정하여 형성된다.^[11] 그러면 확장의 바이어 합은 다음과 같다.

: $0\to B\to X''_n\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to\cdots\to X_2\oplus X'_2\to X''_1\to A\to 0.$

7. 유도 범주와 요네다 곱

Ext 군은 아벨 범주 '''C'''의 유도 범주 ''D''('''C''')에서의 사상의 집합으로 볼 수 있다.^[12] 유도 범주의 대상은 '''C'''의 대상들의 복합체이다. 구체적으로 다음 관계가 성립한다.

: $\operatorname{Ext}^i_{\mathbf C}(A,B) = \operatorname{Hom}_{D({\mathbf C})}(A,B[i])$

여기서 '''C'''의 대상은 차수 0에 집중된 복합체로 간주되며, [''i'']는 복합체를 ''i'' 단계 왼쪽으로 이동하는 것을 의미한다. 이를 통해, Yoneda 곱이라 불리는 다음 쌍선형 사상이 존재한다.

: $\operatorname{Ext}^i_{\mathbf C}(A,B) \times \operatorname{Ext}^j_{\mathbf C}(B,C) \to \operatorname{Ext}^{i+j}_{\mathbf C}(A,C)$

이는 유도 범주에서의 사상의 합성이다.

Yoneda 곱은 더 기본적인 용어로 설명할 수 있다. ''i'' = ''j'' = 0인 경우, 곱은 범주 '''C'''에서의 사상의 합성이다. 일반적으로 곱은 두 개의 Yoneda 확장을 함께 연결하여 정의할 수 있다.

또는, Yoneda 곱은 분해를 사용하여 정의할 수 있는데, 이는 유도 범주의 정의에 가깝다. 예를 들어 ''R''을 환, ''R''-가군 ''A'', ''B'', ''C''가 주어지고, ''P'', ''Q'', ''T''가 각각 ''A'', ''B'', ''C''의 사영 분해라고 하자. 그러면 Ext(''A'',''B'')는 사슬 호모토피의 동치류인 사슬 사상 ''P'' → ''Q''[''i'']의 군과 동일시될 수 있다. Yoneda 곱은 사슬 사상들의 합성을 통해 주어진다.

: $P\to Q[i]\to T[i+j]$

이러한 해석을 통해 Yoneda 곱은 결합적이다. 결과적으로, $\operatorname{Ext}^*_R(A,A)$ 는 임의의 ''R''-가군 ''A''에 대한 등급환이다. 예를 들어, 이는 군 코호몰로지 $H^*(G, \Z)$ 에 대한 환 구조를 제공하며, $\operatorname{Ext}^*_{\Z[G]}(\Z,\Z)$ 로 볼 수 있다. 또한, Yoneda 곱의 결합성에 의해, 임의의 ''R''-가군 ''A''와 ''B''에 대해, $\operatorname{Ext}^*_R(A,B)$ 는 $\operatorname{Ext}^*_R(A,A)$ 위의 가군이다.

8. 특별한 경우

군 코호몰로지는 $H^*(G,M)=\operatorname{Ext}_{\Z[G]}^*(\Z, M)$ 로 정의된다. 여기서 ''G''는 군이고, ''M''은 정수 위에서의 ''G''의 군 표현이며, $\Z[G]$ 는 ''G''의 군환이다.

체 ''k'' 위의 대수 ''A''와 ''A''-쌍가군 ''M''에 대해, Hochschild 코호몰로지는 $HH^*(A,M)=\operatorname{Ext}^*_{A\otimes_k A^{\text{op}}} (A, M)$ 와 같이 정의된다.

리 대수 코호몰로지는 $H^*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Ext}^*_{U\mathfrak g}(k,M)$ 로 정의된다. 여기서 $\mathfrak g$ 는 가환환 ''k'' 위의 리 대수이고, ''M''은 $\mathfrak g$ -가군이며, $U\mathfrak g$ 는 보편 포락 대수이다.

위상 공간 ''X''에 대해, 층 코호몰로지는 $H^*(X, A) = \operatorname{Ext}^*(\Z_X, A)$ 로 정의될 수 있다. 여기서 Ext는 ''X'' 위의 가환군의 층의 아벨 범주에서 취해지며, $\Z_X$ 는 국소 상수 $\Z$ -값 함수들의 층이다.

잉여류체 ''k''를 갖는 가환 노에터 국소환 ''R''에 대해, $\operatorname{Ext}^*_R(k,k)$ 는 ''k'' 위의 등급 리 대수 π*(''R'')의 보편 포락 대수이며, 이는 ''R''의 '''호모토피 리 대수'''로 알려져 있다. (정확히 말하면, ''k''가 표수 2를 가질 때, π*(''R'')은 "조정된 리 대수"로 간주되어야 한다.^[13]) André–Quillen 코호몰로지 ''D''*(''k''/''R'',''k'')에서 π*(''R'')로 가는 등급 리 대수의 자연스러운 준동형이 있으며, 이는 ''k''가 표수 0을 가질 경우 동형이다.^[14]

Ext 함수를 이해하는 또 다른 유용한 방법은 Ext(A, B) = 0의 원소를 A의 사영 분해 P_*에 대해, 사상 f: P_n → B의 동치류로 간주하는 것이다. 이를 통해 B로 끝나는 긴 완전열 Q_*를 얻고, 차수 -n의 사슬 사상 f_*: P_* → Q_*로 표현할 수 있다. 가군 P_m의 사영성을 사용하여 사상 f를 올릴(lift) 수 있으며, 그러한 사슬 사상의 호모토피류는 Ext 함수의 정의의 동치류에 정확히 대응한다.

예를 들어 환 R이 체 k나, k-대수(algebra) 위의 군환과 같이 충분히 좋은 조건 하에서는 Ext(k, k)에 환의 구조를 넣을 수 있다. 곱은 동치인 매우 많은 해석을 가지며, 이 해석은 Ext(k, k)의 원소의 다양한 해석에 대응한다.

사슬 사상의 호모토피류 항으로 해석할 수 있다. 따라서 두 원소의 곱은 대응하는 표현의 성분에 의해 표현된다. k의 분해를 하나만 선택하면, 모든 계산이 Hom_R(P_*,P_*) 안에서 가능하며, 이것은 Ext_R(k,k)를 코호몰로지로서 가지는 미분 차수환이다.

Ext 군은 완전열의 말로 해석할 수도 있다. 이는 사영 가군이나 주입 가군의 존재에 의존하지 않는다는 장점이 있다. Ext(A, B)는 어떤 동치 관계 하에서, B로 시작하고 A로 끝나는 길이 n + 2의 완전열의 클래스가 된다. Ext(C, A)의 원소와 연결하기 위해 ... → X₁ → A → 0와 0 → A → Y_n → ...를

:

\cdots \rightarrow X_1\rightarrow Y_n\rightarrow \cdots

로 대체한다. 여기 안의 화살표는 함수 X₁ → A와 A → Y_n의 합성이다. 곱은 '''요네다 결합곱'''이라고 불린다.

이러한 관점은, 쌍방에서 의미를 가질 경우 항상 동치가 된다.

비슷한 해석에서, 충분히 좋은 조건 하에서는 Ext(k, M)은 Ext(k, k) 위의 가군이다.

9. 어원

'Ext'는 extension^영어(확대)의 약자이다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 $G$ 를 다른 아벨 군 $H$ 로 확대한다면, 가능한 확대들은 $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)$ 와 일대일 대응한다.^[2]

참조

_[1] 논문 1999
_[2] 논문 1994
_[3] 논문 1994
_[4] 논문 1994
_[5] 논문 1994
_[6] 논문 1994
_[7] 논문 1994
_[8] 논문 1994
_[9] 논문 1994
_[10] 논문 1994
_[11] 논문 1994
_[12] 논문 1994
_[13] 논문 1980
_[14] 논문 2010
_[15] 문서 injectiveは、「単射的」「移入的」とも呼ばれる。
_[16] 서적 Abelian categories: An introduction to the theory of functors http://www.tac.mta.c[...] Harper and Row 1964
_[17] 저널 On the homology theory of modules 1954
_[18] 저널 A note on homology in categories http://people.brande[...] 1959-09
_[19] 서적 An introduction to homological algebra http://www.math.rutg[...] Cambridge University Press 1994
_[20] 서적 Homology Springer 1963
_[21] 저널 Ext à la Yoneda without the Schanuel lemma

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